Método asintótico semiclasico (WKB) para ecuaciones diferenciales lineales con un parámetro pequeño (a menudo ħ o 1/k) que busca soluciones de la forma ψ(x)=A(x) e^{i S(x)/ħ} (o análogos exponenciales) de modo que, en orden principal, S satisface una ecuación eikonial (Hamilton–Jacobi) y A satisface una ecuación de transporte; aplicable cuando los coeficientes varían lentamente respecto a la longitud de onda local.

Principio

Se equilibra el término de derivada de mayor orden con la fase rápidamente variable para obtener, en primer orden, una relación local de dispersión (eikonial); la amplitud viene dada por una ecuación de transporte que asegura la conservación de flujo. La validez requiere coeficientes suavemente variables y ausencia de puntos de giro cercanos.

Demostración

Escenario ilustrativo: para la ecuación de Schrödinger unidimensional −(ħ^2/2m)ψ'' + V(x)ψ = Eψ con V(x) lentamente variable, la orden WKB principal da ψ(x) ≈ C [2m(E−V(x))]^{-1/4} exp(± i ∫^x √{2m(E−V(x'))}/ħ dx'), y la decaída exponencial en regiones clásicamente prohibidas se obtiene por continuación analítica de la integral de acción.

Aplicación incorrecta

Aplicar WKB a través de un punto de giro (donde E−V(x)=0) sin usar fórmulas de conexión: el error es ignorar que la longitud de onda local diverge y que la jerarquía WKB falla allí, por lo que el emparejamiento ingenuo da amplitudes y fases incorrectas.

Consecuencia

Si procede, WKB proporciona aproximaciones locales precisas, reglas de cuantización semiclasicas y estimaciones de tuning derivadas de integrales de acción; su mal uso cerca de puntos de giro o variaciones rápidas produce transmisión/reflectancia cualitativamente errónea y cuantificación incorrecta.

Inversión

Falla cerca de puntos de giro, cáusticas o regiones donde el potencial varía en la escala de la longitud de onda; en esos casos use aproximaciones uniformes (emparejamiento con funciones de Airy), fórmulas de conexión o soluciones exactas/numéricas. Las extensiones multidimensionales requieren consideraciones geométricas adicionales (índices de Maslov, variedades lagrangianas).

Límite

Se aplica a ecuaciones de onda lineales de segundo orden (y algunas de orden superior) con un parámetro pequeño claro y coeficientes suavemente variables; excluye medios fuertemente desordenados, variaciones espaciales rápidas en la escala de la longitud de onda y ecuaciones de onda intrínsecamente no lineales.

Tensión semántica

Ofrece un vínculo directo entre la acción clásica y el comportamiento ondulatorio (intuición semiclasica) pero compite con métodos exactos o numéricos cuando la precisión global o el comportamiento cerca de singularidades es importante; tensión entre la localidad de WKB y la necesidad de un ajuste global.

Síntesis

WKB convierte la propagación local de ondas en lenguaje de acción clásica: la fase está gobernada por la eikonial (acción clásica) y la amplitud por el transporte, proporcionando un puente semiclasico práctico entre ecuaciones diferenciales y trayectorias de tipo partícula, requiriendo un tratamiento cuidadoso de regiones singulares.